[게임 수학] 벡터: 가상 공간의 탄생

'이득우의 게임 수학' 책을 보고 정리한 글입니다.

[3장]

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데카르트 좌표계

데카르트 좌표계 : 직선의 수 집합을 수직으로 배치해 평면을 표기하는 방식

좌표 : 데카르트 좌표계의 한 원소는 곱집합과 동일하게 순서쌍으로 표현

좌표는 점 또는 원점으로부터의 화살표로 표현, 크기와 방향 두가지 속성을 지님

 

벡터 공간과 벡터

스칼라와 벡터

벡터의 표기

 

벡터 공간의 연산

1. 벡터와 벡터의 덧셈(벡터의 합)

2. 스칼라와 벡터의 곱셈(스칼라 곱셈)

 

벡터 공간의 공리 

• 벡터의 합의 결합법칙
• 벡터의 합의 교환법칙
• 벡터의 합의 항등원
• 벡터의 합의 역원
• 스칼라 곱셈의 호환성
• 스칼라 곱셈의 항등원
• 벡터의 합에 대한 분배법칙
• 스칼라 덧셈에 대한 분배법칙

 

벡터의 크기와 이동

 

단위 벡터 : 크기가 1인 벡터

 

벡터의 결합과 생성

선형 결합 : n개의 스칼라와 n개의 벡터를 결합해 새로운 벡터를 생성하는 수식

 

새로운 벡터를 영벡터가 나오게 하는 수식을 생각했을 때, 

 

모든 스칼라 값이 0이면 선형 결합의 결과는 영벡터가 됨

그렇지만 a가 0이 아닌 경우에도 영벡터는 나올 수 있음 → 선형 종속의 관계

 

영벡터가 나오기 위해 모든 a값이 0이어야 한다면 → 선형 독립의 관계

 

선형 독립 관계(기저, Basis) : 평면의 모든 벡터를 만들 수 있음,

두 벡터가 평행하면 안되고, 2개의 벡터의 결합만 가능

 

기저의 개념은 차원이라는 새로운 용어를 정의하는데 사용

기저 집합의 원소 수는 언제나 2개뿐, 평면에 대응하는 벡터 공간을 2차원으로 정의 가능

→ 2차원 실벡터 공간(ℝ²) 

 

표준 기저 : 단위 벡터 (1,0), (0,1)로 구성된 집합

각 원소를 표준기저벡터

 

벡터 공간의 차원에는 제약이 없음

ℝ³