'이득우의 게임 수학' 책을 보고 정리한 글입니다.
[7장]
벡터의 내적 (Dot product)
같은 차원의 벡터 두개를 스칼라로 만들어내는 연산
$$ \vec{u} = (a,b) $$
$$ \vec{v} = (c,d) $$
$$ \vec{u}\cdot\vec{v} = a\cdot c + b\cdot d $$
내적의 성질
- 교환 법칙 : 스칼라의 곱셈과 덧셈으로 구성되어 있어서
$$ \vec{u}\cdot\vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u} $$
- 결합 법칙 X : 벡터가 아닌 스칼라로 나와서
$$ \vec{u}\cdot(\vec{v}\cdot\vec{w}) \neq (\vec{u}\cdot\vec{v})\cdot\vec{w} $$
- 덧셈에 대한 분배 법칙
$$ \vec{w}\cdot(\vec{u}+\vec{v}) = \vec{u}\cdot\vec{w} + \vec{v}\cdot\vec{w} $$
- 같은 벡터를 내적하면 벡터의 크기를 제곱한 결과
$$ (x,y) \cdot (x,y) = x^2 + y^2 $$
$$ \vec{v}\cdot\vec{v} = |\vec{v}|^2 $$
→ 벡터 크기의 정의 : 자신을 내적한 결과의 제곱근
두 벡터 합의 내적은 두 벡터의 크기로 표현
$$ (\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v}) = \vec{u}\cdot\vec{u}+\vec{v}\cdot\vec{v} +2(\vec{u}\cdot\vec{v}) $$
$$ = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 + 2(\vec{u}\cdot \vec{v}) $$
내적과 삼각함수와의 관계
\(cos\) 함수와 비례
$$ \vec{u}\cdot\vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|cos\theta $$
두 벡터의 크기가 1이면, 두 벡터의 내적은 \(cos\) 함수
$$ \vec{u}\cdot\vec{v} = cos\theta $$
두 벡터의 내적의 값이 0이면, 두 벡터는 직교함
→ 벡터 공간에서 직교하는 두 표준기저벡터 (1,0)과 (0,1)을 내적한 결과는 항상 0
행렬의 곱셈을 내적으로 표현하기
행렬과 벡터의 곱셈 연산
$$ \begin{bmatrix}a & b \\c & d \\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}ax+by\\cx+dy\end{bmatrix} $$
→ 두 개의 행벡터 \( (a,b),(c,d) \)와 벡터를 구성하는 열벡터 \( (x,y) \) 내적으로 표현 가능
$$ \begin{bmatrix}ax+by \\ cx+dy\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}(a,b)\cdot(x,y) \\ (c,d)\cdot(x,y)\end{bmatrix} $$
행렬의 곱셈 → 벡터의 내적으로 표현 가능
$$ \begin{bmatrix}a & b \\c & d \\\end{bmatrix} \begin{bmatrix}e & f \\g & h \\\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}ae+bg & af+bh \\ce+dg & cf+dh \\\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}(a,b)\cdot(e,g) & (a,b)\cdot(f,h) \\ (c,d)\cdot(e,g) & (c,d)\cdot(f,h) \\\end{bmatrix} $$
직교 행렬
- 정방행렬을 구성하는 모든 행벡터와 열벡터의 크기가 1
- 벡터들이 서로 직교
직교 행렬 \(Q\)
- \( (a,b), (b,d), (a,c), (c,d) \)의 크기 1
- \((a,b), (c,d)\)는 서로 직교
$$ Q = \begin{bmatrix}a & c \\b & d \\\end{bmatrix} $$
직교행렬의 전치행렬은 역행렬
$$ Q\cdot Q^T = I $$
회전 변환행렬은 각 행벡터와 열벡터의 크기가 1이고, 서로 직교
→ 직교행렬
$$ R_\theta = \begin{bmatrix}cos\theta & -sin\theta \\sin\theta & cos\theta \\\end{bmatrix} $$
선형 변환 중 물체의 형태가 그대로 유지되는 선형 변환
→ 강체 변환
선형 변환이 강체 변환이 되기 위한 조건
- 변화된 기저벡터의 크기는 모두 1
- 모든 기저벡터는 서로 직교
- 행렬식 값이 1
회전 변환은 1,2번의 조건은 만족, 행렬식 \(ad - bc\)의 값은 1이 됨 → 강체 변환
$$ det(R) = cos^2\theta + sin^2\theta = 1 $$
시야 판별
앞뒤 판별
목표물이 캐릭터의 앞에 있는지, 뒤에 있는지 구분 → 내적의 부호
\(cos\)함수는 -90º에서 90º까지(분홍색 부분) 양의 부호
내적의 부호만 가지고 두 벡터의 방향 파악 가능
- 벡터 내적의 결과가 양수 : 두 벡터는 같은 방향을 향함
- 벡터 내적의 결과가 음수 : 두 벡터는 다른 방향을 향하고 있음, 서로 마주보고 있음(벡터는 위치의 개념X)
- 벡터 내적의 결과가 0 : 두 벡터는 서로 직교함
캐릭터가 바라보는 방향 \(\vec{f}\)
캐릭터에서 목표물로 향하는 벡터 \(\vec{v}\)
그 사이의 각 \(\alpha\)
- \(\vec{f}\cdot\vec{v}\) 결과의 부호가 양수 : 캐릭터 앞에 목표물이 있음
- \(\vec{f}\cdot\vec{v}\) 결과의 부호가 음수 : 캐릭터 뒤에 목표물이 있음
- \(\vec{f}\cdot\vec{v}\) 결과의 부호가 0 : 캐릭터 옆에 목표물이 있음
시야 판별
캐릭터에 부여한 시야각 \(\beta\)
캐릭터가 바라보는 방향 \(\vec{f}\)
캐릭터에서 목표물로 향하는 벡터 \(\vec{v}\)
그 사이의 각 \(\alpha\)
→ 사잇각 \(\alpha\)가 시야각의 절반인 \(\frac{\beta}{2}\)보다 작거나 같은지 비교
\(cos\) 함수는 [0º, 180º] 범위에서 각이 커질수록 값이 작아짐
→ 이를 이용해 내적의 값의 결과인 \(cos\alpha\)와 \(cos\frac{\beta}{2}\) 값을 비교
- 시야각의 절반 나눈 각의 \(cos\frac{\beta}{2}\)를 미리 계산
- 캐릭터의 시선 벡터를 구해 이의 크기를 1로 정규화 → 단위 벡터 \(\hat{f}\)
- 캐릭터에서 목표물로 향하는 벡터도 1로 정규화 → 단위 벡터 \(\hat{v}\)
- 내적 \(\hat{f}\cdot\hat{v}\)의 계산 결과는 \(cos\alpha\). 이를 \(cos\frac{\beta}{2}\)와 비교
\(cos\)함수의 성질을 이용해 다음과 같이 판단
- \(\hat{f}\cdot\hat{v} \geq cos\frac{\beta}{2}\) : 목표물이 시야 범위 안에 있음
- \(\hat{f}\cdot\hat{v} \leq cos\frac{\beta}{2}\) : 목표물이 시야 범위 밖에 있음
조명 효과의 구현
램버트 반사 모델 : 현실 세계와 비슷한 조명 효과, 컴퓨터 그래픽스에서 표면에서의 조명 모델 계산을 위해 쓰임
빛을 받아 표면에서 반사되는 빛의 세기는 두 벡터가 만드는 사잇각의 \(cos\) 함수에 비례
표면이 향하는 단위 벡터 \(\hat{N}\)
표면에서 광원으로 향하는 단위 벡터 \(\hat{L}\)
→ 두 벡터의 내적을 사용해 램버트 반사 모델에 필요한 사잇각의 \(cos\)값을 얻을 수 있음
\[ \hat{N}\cdot \hat{L} = cos\theta \]
투영 벡터
벡터 내적은 어떤 벡터를 다른 벡터에 직교 투영하는 용도로 사용
ex) 카메라에서 물체까지의 깊이 값
벡터 \(\vec{u}\)를 벡터 \(\vec{v}\)에 투영
→ 투영 벡터 \(\vec{v'}\)
\(\vec{v}\)를 정규화시킨 단위벡터 \(\hat{v}\)에 \(\vec{v'}\)의 크기를 곱하면 투영 벡터를 구할 수 있음
$$ \vec{v'} = |\vec{v'}|\cdot \hat{v} $$
해당 수식을 전개하면
$$ \vec{v'} = |\vec{v'}|\cdot \hat{v} $$
$$ = |\vec{v'}|\cdot \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} $$
$$ = |\vec{u}|\cdot cos\theta \cdot \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} $$
$$ = |\vec{u}|\cdot \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|} \cdot \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} $$
$$ = \frac{(\vec{u}\cdot\vec{v})}{|\vec{v}|^2} \cdot \vec{v} $$
$$ = \frac{(\vec{u}\cdot\vec{v})}{(\vec{v}\cdot\vec{v})} \cdot \vec{v} $$
투영할 벡터 \(\vec{v}\)의 크기가 1이면 단순하게 정리됨
$$ \vec{v'} = (\vec{u}\cdot\vec{v})\cdot\vec{v} $$
